Omitted Variable Bias

多元情形

假设实际结构方程为

Y = X^{T} β + γ Z + u

估计的结构方程为

Y = X^{T} β^{'} + v

这意味着

\begin{aligned} E [X v] & = E [X (γ Z + u)] \\ = γ E [X Z] + E [X u] \\ = γ E [X Z] \neq 0 \end{aligned}

因此存在内生性问题。此时

\begin{aligned} β^{'} & = E [X X^{T}]^{- 1} E [X Y] \\ = E [X X^{T}]^{- 1} E [X (X^{T} β + γ Z + u)] \\ = β + γ E [X X^{T}]^{- 1} E [X Z] + 0 \\ = β + γ δ \end{aligned}

其中 $δ$ 是 $Z$ 对 $X$ 回归的系数。

flowchart LR
X --> | 〈β〉 |Y
Z --> | 〈δ〉 |X
Z --> | 〈γ〉 |Y

可见遗漏变量偏差的符号和大小由 $γ$ 和 $δ$ 共同决定。例如， $Z$ 对 $X$ 和 $Y$ 的影响都很小则遗漏变量偏差并不严重，不过这一点不容易检验。

假设实际的结构方程为

Y = α + β X + γ Z + u

估计的结构方程为

Y = α^{'} + β^{'} X + v

此时

\begin{aligned} β^{'} = \frac{C o v (X, Y)}{V a r (X)} & = \frac{C o v (X, α + β X + γ Z + u)}{V a r (X)} \\ = \frac{β V a r (X) + γ C o v (X, Z)}{V a r (X)} \\ = β + γ δ \end{aligned}

其中 $δ$ 是 $X$ 对 $Z$ 回归的系数。

flowchart LR
X --> | 〈β〉 |Y
Z --> | 〈δ〉 |X
Z --> | 〈γ〉 |Y

或者

\begin{aligned} β^{'} & = \frac{C o v (X, α^{'} + β^{'} X + v)}{V a r (X)} \\ = β + \frac{C o v (X, v)}{V a r (X)} \\ = β + \frac{C o v (X, v)}{\sqrt{V a r (X) V a r (v)}} \sqrt{\frac{V a r (v)}{V a r (X)}} \\ = β + ρ (X, v) \frac{σ_{v}}{σ_{X}} \end{aligned}

可见遗漏变量偏差的符号和大小由 $ρ (X, v) = γ ρ (X, Z)$ 以及相对标准差共同决定。例如， $X$ 的方差很大但 $v$ 的方差很小，则遗漏变量偏差并不严重，这一点很容易检验。